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广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性 ![]() 张量的微分学是不协变的,Ricci借助协变性思想,将其发展成为协变的微分学。然而,协变微分学是非公理化的,本著作通过空间域上的协变形式不变性公设,将Ricci的经典协变微分学,扩展成了公理化的广义协变微分学。类似地,张量的变分学是不协变的,本著作将其发展成协变的变分学,并借助时间域上的协变形式不变性公设,将协变变分学发展成了公理化的广义协变变分学。 本书可以极大地深化读者对协变微分学和协变变分学的理解;通过本书,读者将建立起充满活力的张量分析知识体系。 力学研究者都要研习张量分析。但很少有人知道,张量分析是爱因斯坦给起的名字。张量分析的前身是协变微分学。 广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性
殷雅俊,清华大学航天航空学院工程力学系教授,博士生导师。1985年毕业于清华大学水电系,获学士学位;1987年于清华大学工程力学系获硕士学位,同年留校任教;1995年获日本政府奖学金,赴日留学,1998于日本广岛大学获博士学位。1993-94年获荷兰政府资助,作为Research Fellow在Delft大学从事合作研究。2000-01年受Japan Key Technology Center的邀请,作为海外研究员在IHI(日本石川岛播磨重工业公司)基础技术研究所从事合作研究工作。先后获得教学优秀成果一等奖1次、二等奖3次。2011年获得北京市教学名师奖。近十五年来主攻以下研究方向并取得进展:(1)生物微纳米力学与几何;(2)生物分形几何与力学;(3)昆虫仿生力学;(4)张量分析与理性力学的公理化。在国内外刊物发表学术论文120篇。 第1章导言 1.1关于平坦时空 1.2关于张量及其协变性 1.3关于张量的协变微分学 1.4博士生的幼稚提问 1.5前辈数学力学家的疑惑 1.6协变微分学的局限性 1.7协变形式不变性 1.8从协变微分学到协变变分学 上篇平坦空间中的协变微分学与广义协变微分学 第2章自然标架与自然基矢量的Ricci变换 2.2逆变基矢量 2.3度量张量分量 2.4基矢量的指标变换 2.5协变基矢量的坐标变换 2.6逆变基矢量的坐标变换 2.7度量张量的杂交分量 2.8统一的Ricci变换 2.9度量张量的两点分量 2.10本章注释 第3章分量与广义分量的Ricci变换 3.1矢量的分解式 3.2矢量分解式中的广义对偶不变性 3.3矢量分解式中的表观形式不变性 3.4矢量的Ricci变换群 3.5张量分解式中的不变性与Ricci变换群 3.6广义分量概念 3.7张量的杂交分量 3.8杂交广义分量 3.9本章注释
4.1从矢量场的偏导数到矢量分量的协变导数 4.2从张量场的偏导数到张量分量的协变导数 4.3经典协变导数的协变性 4.4度量张量分量的普通偏导数和经典协变导数 4.5分量之积的协变导数定义式 4.6类组合模式与经典协变导数的代数结构 4.7第二类组合模式 4.8矢量分量的杂交协变导数 4.9张量杂交分量的协变导数 4.10度量张量的杂交分量的协变导数 4.11张量杂交分量之积的杂交协变导数 4.12经典协变导数中的结构模式 4.13经典协变导数的概念生成模式 4.14再看经典协变导数的协变性 4.15普通偏导数的非协变性 4.16指标概念的补充分类 4.17Christoffel符号的进一步分析 4.18杂交Christoffel符号的进一步分析 4.19再看杂交Christoffel符号下指标的非对称性 4.20不易察觉的陷阱 4.21协变导数的代数结构再分析 4.22本章注释 第5章广义分量的广义协变导数 5.1矢量分量协变导数的延拓 5.2张量分量协变导数的延拓 5.3协变形式不变性公设 5.4杂交广义协变导数求导指标的变换关系 5.5广义分量之积的广义协变导数定义式 5.6类组合模式与Leibniz法则 5.7第二类组合模式 5.8矢量实体的广义协变导数 5.9标量场函数的广义协变导数 5.10张量实体的广义协变导数 5.11度量张量行列式及其根式之广义协变导数的定义式 5.12 广义协变导数的代数结构 5.13协变微分学中的量系及其分类 5.14本章注释 第6章广义协变导数的微分不变性质 6.1广义协变导数的基本微分不变性质 6.2协变微分不变式 6.3有潜在物理意义的协变微分不变式 6.4协变微分变换群 6.5协变微分变换群的诸等价形式 6.6度量张量的协变导数计算式 6.7广义协变导数的协变性 6.8Eddington张量的协变导数计算式 6.9度量张量行列式及其根式的协变导数的计算式 6.10本征协变微分不变式之值 6.11协变微分变换群下的协变微分不变量 6.12协变微分变换群下的推论与特例 6.13本章注释 第7章广义协变导数的积分不变性质 7.1协变微分变换群下的微分不变量回顾 7.2积分定理: 从直线坐标系到曲线坐标系的推广 7.3积分定理: 曲线坐标系下的极限逼近 7.4积分定理: 微分不变量之关联的妙用 7.5事后诸葛式的追问 7.6梯度定理 7.7散度定理 7.8旋度定理 7.9Stokes定理(广义环量定理) 7.10Green积分定理 7.11本章注释 第8章高阶广义协变导数 8.10指标广义分量的二阶广义协变导数 8.21指标广义分量的二阶广义协变导数 8.32指标广义分量的二阶广义协变导数 8.4平坦空间的对称性 8.5二阶的协变微分不变式 8.6二阶的协变微分不变量与偏微分不变量之关系 8.7二阶的协变微分不变量与基本微分不变量之关系 8.8三阶的协变微分不变量与基本微分不变量之关系 8.9与二阶不变量微分算子对应的广义Gauss积分定理 8.10物理学和力学中的二阶不变量微分算子 8.11与二阶微分算子对应的Green积分定理 8.12本章注释 第9章平坦空间中的广义协变微分 9.1场函数的Taylor级数展开与张量的经典微分概念 9.2矢量分量的经典协变微分 9.3张量分量的经典协变微分 9.4张量杂交分量的经典协变微分 9.5协变形式不变性公设 9.6广义分量之广义协变微分的公理化定义式 9.7广义协变微分定义式中的基本组合模式 9.8广义协变微分定义式中的类组合模式和Leibniz法则 9.9广义协变微分定义式中的第二类组合模式 9.10矢量实体的广义协变微分 9.11张量实体的广义协变微分 9.12张量之积的广义协变微分 9.13度量张量行列式之根式的广义协变微分 9.14广义协变微分的代数结构 9.15协变微分变换群 9.16度量张量的广义协变微分之值 9.17广义协变微分的协变性 9.18Eddington张量的广义协变微分之值 9.19有趣的结果 9.20本章注释 第10章协变微分学的结构 10.1上篇的脉络 10.2协变微分学的基本图式 10.3历史的借鉴 10.4关于协变微分变换群的运动学含义 10.5关于变换群下的不变性 10.6关于Bourbaki学派的思想 10.7下篇展望 下篇平坦空间中的协变变分学和广义协变变分学 第11章Euler描述下平坦空间本征几何量的物质导数 11.2Euler基矢量的定义 11.3Euler描述下物质导数的定义 11.4物质点的速度与连续体上分布的速度场 11.5关于隐态函数的一般性命题 11.6物质点处Euler基矢量的物质导数 11.7物质点处度量张量分量的物质导数 11.8度量张量杂交分量的物质导数 11.9物质点处度量张量行列式及其根式的物质导数 11.10有关Euler基矢量的命题 11.11Christoffel符号的物质导数 11.12本章注释 第12章Euler描述下分量对时间的狭义协变导数 12.1矢量分量对时间t的协变导数 12.2对时间t的协变导数与全导数之关系 12.3张量分量对时间的协变导数 12.4度量张量分量对时间参数的协变导数 12.5张量的杂交分量对时间的协变导数 12.6度量张量的杂交分量对时间参数的协变导数 12.7对时间的狭义协变导数与时间域上的联络概念 12.8本章注释 第13章Euler描述下广义分量对时间的广义协变导数 13.1对称性的破缺 13.2时间域上的协变形式不变性公设 13.31指标广义分量对时间的广义协变导数定义式 13.42指标广义分量对时间的广义协变导数定义式 13.5杂交广义分量对时间的广义协变导数定义式 13.6广义协变导数t(·)中的基本组合模式 13.7基本组合模式的统一表达式 13.8广义协变导数t(·)中的类组合模式和代数结构 13.9广义协变导数t(·)中的第二类组合模式 13.10实体量对时间的广义协变导数 13.11度量张量行列式及其根式对时间的广义协变导数 13.12时间域上的协变微分变换群 13.13协变微分变换群应用于度量张量分量 13.14变换群应用于Eddington张量 13.15变换群应用于度量张量行列式之根式 13.16与Euler基矢量相关的一般性命题 13.17对时间的广义协变导数的协变性 13.18对称性的修复 13.19有趣的现象 13.20Euler时空上的高阶广义协变导数 13.21本章注释 第14章Euler描述下的广义协变变分 14.1Euler描述下场函数对时间的Taylor级数展开 14.2矢量分量的狭义协变变分 14.3张量分量的狭义协变变分 14.4张量杂交分量的狭义协变变分 14.5协变形式不变性公设 14.6广义分量之广义协变变分的公理化定义式 14.7广义协变变分中的基本组合模式 14.8广义协变变分中的类组合模式和Leibniz法则 14.9广义协变变分中的第二类组合模式 14.10矢量实体的广义协变变分 14.11张量实体的广义协变变分 14.12张量之积的广义协变变分 14.13度量张量行列式之根式的广义协变变分 14.14广义协变变分的代数结构 14.15协变变分变换群 14.16度量张量的协变变分之值 14.17广义协变变分的协变性 14.18Eddington张量的广义协变变分之值 14.19度量张量行列式及其根式的广义协变变分之值 14.20微分/变分运算顺序的不可交换性 14.21Euler描述下的虚位移概念 14.22本章注释 第15章Lagrange描述下空间本征几何量的物质导数 15.1Lagrange描述 15.2Lagrange描述下物质导数的定义 15.3物质点的速度与连续体上的速度场 15.4Lagrange基矢量的物质导数 15.5度量张量的Lagrange分量的物质导数 15.6度量张量的Lagrange杂交分量的物质导数 15.7度量张量行列式及其根式的物质导数 15.8Christoffel符号的物质导数 15.9奇特的现象 15.10本章注释 第16章Lagrange描述下分量对时间的狭义协变导数 16.1矢量的Lagrange分量对时间t^的狭义协变导数 16.2张量的Lagrange分量对时间参数t^的狭义协变导数 16.3度量张量的Lagrange分量对时间参数t^的狭义协变导数 16.4张量的Lagrange杂交分量对时间t^的狭义协变导数 16.5度量张量的Lagrange杂交分量对时间t^的狭义协变导数 16.6赝分量 16.7赝广义分量 16.8本章注释 第17章Lagrange描述下广义分量对时间的广义协变导数 17.1对称性的破缺 17.2Lagrange时间域上的协变形式不变性公设 17.31指标广义分量对时间的广义协变导数定义式 17.42指标广义分量对时间的广义协变导数定义式 17.5杂交广义分量对时间的广义协变导数定义式 17.6广义协变导数t^(·)中的类组合模式与代数结构 17.7第二类组合模式 17.8实体量对时间的广义协变导数 17.9度量张量行列式及其根式对时间的狭义协变导数 17.10动态Lagrange空间域上的广义协变导数m^(·) 17.11时间域上的协变微分变换群 17.12协变微分变换群应用于度量张量 17.13协变微分变换群应用于度量张量的杂交分量 17.14协变微分变换群应用于Eddington张量 17.15协变微分变换群应用于g^ 17.16与Lagrange基矢量相关的一般性命题 17.17广义协变导数t^(·)的协变性 17.18对称性的修复 17.19有趣的现象 17.20Lagrange时空上的高阶广义协变导数 17.21本章注释 第18章Lagrange描述下的广义协变变分 18.1Lagrange描述下场函数对时间的Taylor级数展开 18.2矢量的Lagrange分量的狭义协变变分 18.3张量的Lagrange分量的狭义协变变分 18.4张量的Lagrange杂交分量的狭义协变变分 18.5协变形式不变性公设 18.6Lagrange广义分量的广义协变变分及其公理化定义式 18.7广义协变变分中的基本组合模式 18.8广义协变变分中的类组合模式和Leibniz法则 18.9广义协变变分中的第二类组合模式 18.10矢量实体的广义协变变分 18.11张量实体的广义协变变分 18.12张量之积的广义协变变分 18.13度量张量行列式之根式的广义协变变分 18.14广义协变变分的代数结构 18.15协变变分变换群 18.16度量张量的广义协变变分之值 18.17广义协变变分的协变性 18.18Eddington张量的广义协变变分之值 18.19度量张量行列式及其根式的广义协变变分之值 18.20Lagrange描述下微分/变分运算顺序的可交换性分析 18.21Lagrange描述下的虚位移概念 18.22本章注释 第19章协变变分学的结构 19.1Euler空间域上的协变微分学图式 19.2Euler时间域上的协变变分学图式 19.3Lagrange空间域上的协变微分学图式 19.4Lagrange时间域上的协变变分学图式 19.5Euler时空与Lagrange时空的统一性 19.6局部化的观点看张量的协变变分学 19.7从微分学的协变性到变分学的协变性 19.8再看协变性概念的生成模式 19.9后续发展展望 参考文献
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