基于黎曼几何的信息几何已经成为研究信息领域中非线性、随机性问题的重要工具。本书介绍信息几何的数学基础。全书共5章：第1章简要介绍信息几何的由来以及思想与方法；第2章介绍作为信息几何基础的微分几何与黎曼几何基础；第3章介绍信息几何涉及的李群与李代数的基本内容；第4章介绍正定矩阵流形的几何结构，包括在不同黎曼度量下的测地距离以及黎曼梯度；第5章简要介绍经典信息几何的基本内容。
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北京市高教学会数学研究分会理事长、北京交叉科学学会副理事长
目录
前言 i
第1章 信息几何简介 1
参考文献 3
第2章 微分几何与黎曼几何基础 8
2.1 微分几何基础 8
2.1.1 三维欧氏空间中的曲线理论简介 8
2.1.2 三维欧氏空间中的曲面理论简介 9
2.2 黎曼几何基础 19
2.2.1 基本概念 19
2.2.2 仿射联络与黎曼度量 22
2.2.3 黎曼曲率张量与曲率 27
2.2.4 等距映射与测地线 36
2.2.5 指数映射与雅可比场 42
2.2.6 黎曼流形上的算子 44
参考文献 46
第3 章李群与李代数 48
3.1 矩阵指数与矩阵对数 48
3.2 群 50
3.3 李群的基本内容 52
3.4 矩阵李群的拓扑性质 56
3.5 李代数与不变的黎曼度量 61
3.6 矩阵李群的李代数65
3.7 紧致李群的几何结构 70
3.8 李变换群 73
3.9 矩阵李群的几何结构 76
3.9.1 黎曼梯度 76
3.9.2 一般线性群上的黎曼度量 77
3.9.3 正交群与酉群上的黎曼梯度 79
3.9.4 实辛群的几何结构 83
3.9.5 洛伦兹群的几何结构 88
参考文献 94
第4 章正定矩阵流形的几何结构 96
4.1 正定矩阵流形SPD(n)96
4.2 SPD(n)上的仿射不变度量 98
4.3 SPD(n)上的对数欧氏度量 105
4.4 SPD(n)上的Wasserstein度量 111
4.4.1 预备知识——矩阵的平方根 111
4.4.2 GL(n,R)到SP D(n)的黎曼淹没 112
4.4.3 GL(n,R)上点的切空间的直和分解 112
4.4.4 SP D(n)上黎曼度量的显式表达 114
4.4.5 SP D(n)上任意两点之间最短距离的显式表达 118
4.4.6 (SP D(n),g)的对称度 121
4.4.7 测地线 123
4.4.8 联络 128
4.4.9 曲率 132
4.5 SPD(n)上的几何平均值 137
4.5.1 欧氏空间中的几何平均值 137
4.5.2 基于黎曼度量的几何平均值 138
参考文献 145
第5章 经典信息几何理论 149
5.1 统计流形与Fisher信息度量 149
5.2 对偶联络 151
5.3 指数分布族流形 157
5.4 对偶平坦流形 166
5.5 最大熵 169
5.6 Kullback-Leibler散度 171
5.7 广义毕达哥拉斯定理 178
参考文献 180
索引 183
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