偏微分方程是数学的重要分支, 内容丰富且应用面广, 其边界控制问题是微分方程控制问题中较为典型的一类。本书利用反步法等知识和技术, 通过对热方程、波动方程、抛物型偏微分系统及分数阶反应扩散系统的一些专题进行论述，向读者介绍了偏微分系统中的一些基本知识、研究思想以及解决问题的方法，重点是展现偏微分系统控制理论中能体现时滞作用的一些优美结果。
本书是作者十多年来在偏微分系统理论和控制方面成果的总结，也是对系统状态时滞、控制输入时滞和边界时滞等对偏微分方程理论影响的研究探索。本书包含一些技术细节，可作为数学、工学和物理学等专业高年级本科生、研究生、教师及研究人员的参考书。
本书重点介绍偏微分方程系统的边界控制问题，通过使用反步法构造控制器的方式对一些有代表性的问题进行了阐述。
在实际生产生活中，边界控制比域内控制更为现实。在过去的几十年中，偏微分系统的边界控制在控制领域得到了越来越广泛的应用。解决边界控制问题的方法多种多样，一般情况下使用可逆反步法能够使初始系统与目标系统等价。采用输出反馈控制是镇定系统的基本方法，控制和输出需要最小化。为了达到控制的目的，常常采用反步变换法推导出边界反馈控制律来使闭环系统稳定。由于变换的可逆性，初始系统与目标系统的稳定性是相同的。此外为了证明核函数的存在性，采用逐次逼近方法是一种常规的做法。
偏微分方程是数学的重要分支，其内容丰富且应用面广。有关偏微分方程控制的研究一直以来都受到数学、人工智能和工程控制等各领域的广泛关注，其中偏微分方程的边界控制问题是微分方程控制问题中较为典型的一类。目前关于偏微分方程的边界控制问题虽然取得了大量的研究成果，但由于该问题在现实生活中，尤其是工程控制方面存在较大的影响，因此仍需要对许多问题的许多方面进行深入探究。本书利用常微分方程理论、偏微分方程理论、李雅普诺夫稳定性理论和反步法等知识和技术，通过对具有中间点热源的线性热方程、具有分布式输入时滞的波动方程、四阶抛物型偏微分系统、空间变系数和时变时滞的反应扩散耦合方程、具有输入时滞的反应对流扩散方程及分数阶反应扩散系统的一些专题进行论述，向读者介绍偏微分系统中的一些基本知识、研究思想及解决问题的方法，希望以较小的篇幅展现偏微分系统控制理论中时滞作用的一些优美结果。本书研究的时滞项主要包括状态时滞项，此时需要在其边界上设计反步控制器使系统指数稳定；还考虑了输入时滞，即在系统边界上加入时滞项，而这时为了处理时滞项，常常会引入另一个状态变量，进而转化为研究一个没有时滞的耦合系统。
本书是作者与合作者在过去十年中相关成果的总结，特别感谢合作者：管培荫、王祎、张菱馨和段明宇。全书共分 9 章，其中第 1 章是绪论，第 2 章是基础知识，主要内容集中在第3~9章。本书的编写得到了山东省数学优势特色学科、曲阜师范大学人才项目（610001）、山东省自然科学基金（ZR2017MA045、ZR2021MA043）、中国博士后科学基金（2014M551738）和国家自然科学基金（10801088） 的支持，在此一并致谢！限于作者的理解水平，书中可能存在不妥之处，欢迎读者批评指正！
作者
曲阜师范大学
2024年11月18日
郭英新,曲阜师范大学数学科学学院教授，曲师大杏坛学者。美国数学会Mathematical Reviews和德国zbMATH评论员。长期从事常微分方程问题解的存在唯一性、稳定性、振动性及其应用，偏微分方程边值控制，神经网络的控制理论及随机时滞系统的稳定与控制理论等科研工作。主持或参与国家自然科学基金、山东省自然科学基金等多项。获得第九届山东省统计科研优秀成果奖二等奖一项、2018年山东省教育厅科研优秀成果奖一等奖、2020年山东省科学技术奖-自然科学奖三等奖。自2008年以来发表SCI论文（一作）30多篇。
第1章 绪论 1
1.1 偏微分方程与边界控制 1
1.2 反步法与边界控制 3
1.3 本书的主要工作 8
第2章 基础知识 11
2.1 概念 11
2.2 引理和不等式 12
第3章 一维波动方程边界状态反馈指数稳定 14
3.1 引言 14
3.2 反步法设计 15
3.3 逆变换的存在性 26
3.4 本章小结 35
第4章 具有中间点热源的线性热方程的边界控制 36
4.1 引言 36
4.2 主要结果 37
4.3 逆变换的存在性 48
4.4 主要结论的证明 62
4.5 本章小结 62
第5章 一类四阶抛物型系统的边界控制和观测器设计 63
5.1 引言 63
5.2 系统描述与控制器设计 64
5.2.1 目标系统 64
5.2.2 反步变换 65
5.3 系统观测器设计 75
5.4 闭环系统的稳定性分析 78
5.5 系统解的适定性 81
5.6 数值模拟 83
5.7 本章小结 85
第6章 分数阶反应扩散系统的边界控制 86
6.1 引言 86
6.2 概念与基本知识 87
6.3 数学模型及问题陈述 89
6.4 目标系统的核函数 92
6.5 目标系统的稳定性 109
6.6 根据反步变换设计控制器 112
6.7 本章小结 119
第7章 具有时变时滞和空间变系数的反应扩散耦合方程的边界反馈控制 120
7.1 引言 120
7.2 系统描述和反步变换 121
7.3 核方程的解 124
7.4 初始系统的稳定性和控制器设计 126
7.5 数值模拟 130
7.6 本章小结 132
第8章 具有未知输入时滞的反应--对流--扩散方程的自适应边界控制 134
8.1 引言 134
8.2 系统描述与控制器设计 135
8.3 目标系统 137
8.4 自适应控制器设计 138
8.5 闭环系统的稳定性分析 141
8.6 数值模拟 164
8.7 本章小结 166
第9章 具有分布式输入时滞的波动方程的自适应控制 167
9.1 引言 167
9.2 系统描述和反步变换 168
9.3 核函数方程与目标系统的稳定性 169
9.4 自适应控制器设计 173
9.5 闭环系统的稳定性分析 176
9.6 数值模拟 181
9.7 本章小结 183
参考文献 184
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