【内容简介】本书是为工科各专业研究生编写的泛函分析基础教材，全书共分七章，内容包括：实分析基础、距离空间、Banach空间、Hilbert空间、有界线性算子、线性算子的谱理论、线性算子半群及其应用。本书注重介绍问题的来源和背景，内容丰富，列举了大量例题，叙述深入浅出，特别强调泛函分析理论和方法在最优化问题和控制论中的应用。
本书可作为工科研究生和应用数学本科生的教学用书，也可作为数学系学生学习泛函分析时的参考书，并可供相关科学技术人员学习参考。
本书是针对工科各专业研究生和未修过实分析的数学系学生讲授的泛函分析教材，对学生能起到启蒙和引领作用，是从事高水平科学研究的现代数学基础之一，希望他们学完后能做出高水平的研究成果，积极推动学科的发展。
泛函分析是现代数学中的一门较新的数学分支，它综合运用分析、代数、几何的观点和方法研究无限维向量空间上的泛函、算子和极限理论。它在控制论、最优化理论、微分方程、概率论、流体力学、量子物理、计算数学等学科中有着重要的应用，是从事高水平科学研究的现代数学基础之一，强有力地推动着其他关联学科的发展。因此，许多大学已把应用泛函分析列为工科研究生的学位课程。
本书是面向综合性大学非数学专业（特别是控制科学与工程专业）研究生学习应用泛函分析方面的教材。本着强化基础、拓展应用的原则，本书系统地介绍了泛函分析基础知识，并着重列举泛函分析方法在实际问题中的应用实例，注重阐明基本概念、基本思想和基本方法，力图内容全面、重点突出、深入浅出。
泛函分析在当今控制理论诸分支的研究中占有重要地位。目前国内已有不少应用泛函分析教材，其中大多数教材非常优秀，给予作者很大的启发，但其中也有些过于简略，仅罗列了泛函分析中的基本概念和主要定理，没有完全展示泛函分析方法的实质和威力；还有一些完全根据数学专业的教学体系编写，所阐述的内容体现了数学的特点，过于注重定理证明的细枝末节，其高度的抽象性导致工科研究生在学习过程中感到其艰涩难懂，望而生畏。本书试图弥补这一缺陷，是针对工科类专业研究生和未修过实分析的数学类专业学生的泛函分析教材。
本书特色
（1）强调问题的来源，从问题背景出发引入有关抽象概念，注重泛函分析与高等数学、线性代数等课程的联系对比，努力做到深入浅出。
（2）给出大量具体例子，有助于读者理解抽象的概念，掌握重要的知识点，以及了解重要定理的应用。
（3）详尽又不失简洁地编写线性算子半群及其应用这一章内容，以适应工科类专业（特别是控制科学与工程专业）研究生的数学基础和专业需要，且保持泛函分析理论体系的严谨性和完整性。
（4）在有关章节中专门穿插给出了泛函分析在微分方程解的存在唯一性、最小二乘法、最优控制、热传导方程、 Euler-Bernoulli梁方程、柔性吊车系统等方面的应用，加强研究生应用能力和创新能力的培养。
通过本书的学习，应领悟泛函分析研究和处理问题的思想方法，掌握距离空间、Banach空间和 Hilbert空间以及定义在这些空间上的线性泛函和线性算子等基本概念、基本性质与重要定理，能运用全新的、现代数学的视角审视和处理控制工程中的一些问题，学会将控制工程中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究。书中各章最后都设有精选的习题，以便读者掌握解题方法，进而加深理解应用泛函分析的基本概念和方法。
崔宝同教授审阅了本书初稿，并提出了许多宝贵的意见。我的研究生对本书的初稿进行了初校工作，在这里向他们表示诚挚的感谢！本书的编写得到了江南大学研究生教材建设项目的支持，在此深表谢意。最后，本书的出版还得到了清华大学出版社和崔彤编辑的大力支持和帮助，在此表示由衷的感谢。
笔者学识浅陋，对博大精深的泛函分析理论仅略知皮毛，书中难免存在疏漏和不当之处，恳请专家和读者斧正。
楼旭阳
2024年 12月于无锡
楼旭阳，男，教授，博士生导师。从事自动化领域的教学与科研工作；主持完成国家及省部级项目4项；获省级科技进步三等奖1项、CAA自然科学奖二等奖1项；出版专著、教材2部；发表学术论文100余篇，其中被SCI检索80余篇；连续4年入选爱思唯尔中国高被引学者榜单(2016-2019），获江苏省333高层次人才。
符号说明 IX
第 1章实分析基础 1
1.1数列的收敛
1
1.2函数列的收敛
. 3
1.
3可测集与可测函数 7
1.4勒贝格积分
. 10
1.4.1黎曼积分
10
1.
4.2勒贝格积分的定义 . 12
1.
4.3勒贝格积分的性质 . 14
1.5
Lp空间 . 17
习题 1 . 19
第 2章距离空间 21
2.
1距离空间的基本概念 21
2.
1.1距离空间的定义 22
2.
1.2距离空间中的点集 . 25
2.
1.3距离空间中的收敛 . 27
2.
1.4距离空间中的连续映射 29
2.
1.5稠密性与可分性 31
2.
2距离空间的完备性 . 34
2.2.1
Cauchy列与完备性 . 34
2.
2.2距离空间的完备化 . 39
2.
3距离空间的列紧性与紧性 . 40
2.
3.1列紧集与紧集 . 41
2.
3.2列紧集的性质 . 42
2.
3.3紧集上的连续映射 . 44
2.
4压缩映射原理及其应用 . 44
2.
4.1不动点与压缩映射 . 45
2.
4.2压缩映射原理 . 46
2.
4.3压缩映射原理的应用 . 48
习题 2 . 53
第 3章 Banach空间 56
3.1线性空间
. 56
3.
1.1线性空间的定义 56
3.1.2线性算子
61
3.2赋范线性空间
64
3.
2.1赋范线性空间的概念 . 64
3.
2.2由范数诱导的距离 . 67
3.
2.3依范数收敛 . 69
3.
3完备赋范线性空间 . 70
3.3.1
Banach空间的概念 . 71
3.3.2
Banach空间的性质 . 74
3.3.3
Riesz引理 76
3.
4有限维赋范线性空间 77
习题 3 . 80
4.1内积空间
. 83
4.
1.1内积空间的概念 84
4.
1.2内积导出的范数 86
4.
1.3范数成为内积的条件 . 88
4.
1.4完备内积空间 . 90
4.2正交与正交系
92
4.2.1正交性
. 92
4.
2.2正交系和标准正交系 . 94
4.2.3
Gram-Schmidt正交化 . 96
4.3
Fourier级数和标准正交基 . 98
4.3.1
Fourier级数和 Bessel不等式 98
4.
3.2标准正交基 . 100
4.3.3
Hilbert空间的同构 107
4.
4最佳逼近和正交分解定理 . 109
4.4.1最佳逼近
109
4.
4.2正交分解定理 . 111
4.
4.3正交投影算子 . 114
4.
5正交分解定理的应用 116
4.5.1最优控制
116
4.
5.2函数逼近问题 . 118
4.
5.3最小二乘法 . 120
习题 4 . 121
第 4章 Hilbert空间 83
第 5章有界线性算子理论 . 123
5.1线性算子
. 123
5.
1.1有界线性算子 . 124
5.1.2连续算子
128
5.2算子空间
. 131
5.
2.1算子范数和算子空间 . 131
5.
2.2算子列的收敛性 137
5.
2.3算子空间的完备性 . 139
5.3一致有界定理
140
5.
3.1一致有界定理与共鸣定理 . 141
5.
3.2一致有界定理的应用 . 143
5.
4逆算子与逆算子定理 148
5.4.1逆算子
. 148
5.
4.2逆算子定理 . 149
5.
4.3逆算子定理的应用 . 151
5.
5闭算子与闭图像定理 152
5.5.1闭算子
. 152
5.
5.2闭图像定理 . 154
5.6
Hahn-Banach延拓定理 . 156
习题 5 . 159
第 6章共轭空间与共轭算子 . 163
6.1共轭空间与
Riesz表示定理 163
6.2自反空间
. 168
6.3共轭算子
. 171
6.
4强收敛与弱收敛 . 179
6.
4.1点列的强收敛与弱收敛 179
6.
4.2算子列的强收敛与弱收敛 . 182
6.
4.3泛函列的弱收敛与弱 *收敛 183
6.5
Riesz表示定理的应用 . 184
习题 6 . 190
第 7章线性算子的谱理论 . 193
7.1谱集和正则集
193
7.
2有界线性算子的谱理论 . 197
7.
3自伴算子的谱理论 . 201
7.
4紧算子的谱理论 . 204
7.
4.1紧算子的定义 . 204
7.
4.2紧算子的性质 . 206
7.
4.3紧算子的谱和 Fredholm抉择定理 . 209
习题 7 . 214
第 8章线性算子半群及其应用 217
8.1抽象
Cauchy问题初探 217
8.
2强连续算子半群 . 220
8.2.1
C0半群的定义和性质 221
8.2.2
C0半群的生成定理 223
8.
2.3耗散算子与压缩半群 . 224
8.
3线性发展方程的解 . 228
8.
4线性算子半群的应用 231
8.
4.1热传导问题 . 232
8.
4.2弦振动问题 . 234
8.4.3人口方程
236
8.4.4
Euler-Bernoulli梁方程 238
8.
4.5柔性吊车系统 . 241
习题 8 . 245
参考文献 . 247
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