本书以数学发展过程中几个改变世界的重要分支为切入点，通过讲述数学成就、应用案例及数学家的传奇故事，凸显数学在改变世界方面的关键创新与实际应用，助力读者提升数学素养，深刻理解数学对人类文明发展的深远影响。 全书16章基本上循着历史脉络徐徐展开。第1章是对数学及其文化的总体概述，帮助读者建立起对数学的整体认知；第2章回溯记数方法的诞生历程，探寻数学的源头；第3章和第4章深入解析古希腊数学和中国古代数学，呈现出演绎化与算法化这两条并行的数学发展之路，让读者领略不同文明孕育的数学智慧结晶；第5章至第11章系统讲述数论、代数、几何、微积分、概率统计、非欧几何、无穷理论等分支的演进故事，展现人类对世界的认知如何随数学发展不断深化；第12章聚焦20世纪初数学公理化运动与数学基础论争，呈现数学大厦在根基层面的思想交锋；第13章至第15章展现数学在现实中的广泛应用，从与计算机的协同发展、对航海事业的推动，到在现代各领域发挥的关键作用，带领读者直观感受数学如何塑造我们的生活与世界；第16章介绍21世纪以来的数学新进展及当代数学家的探索成果。
本书以数学发展史上的关键分支为主线，从记数法的起源到21世纪的前沿突破，通过生动的案例、数学家的传奇故事和实际应用，展现数学如何塑造人类文明。作者结合自己多年的教学经验，将高深理论转化为通俗叙述，涵盖古希腊演绎数学、中国古代算法、微积分革命、非欧几何争议等精彩内容，特别加入航海数学等特色章节。书中穿插着趣味数学问题、电影典故等，既适合作为高等院校数学通识教材，也能满足大众读者探索数学之美的需求。
前 言我是一名篮球爱好者，通常每周六下午都会去球场打球，晚上则会和球友一起聚餐聊天，这也是一种放松自我的方式。球友来自五湖四海，在不同行业工作，因为爱好篮球聚在一起。在聊天时，除了谈论一些篮球话题之外，还经常会谈到他们各自的行业以及发生的趣事。例如，公安系统的朋友会谈到如何侦破案件及抓捕犯人，律师会谈及如何在法庭上与对手针锋相对以及一些法律条文，做销售的朋友则会讲其如何对某个产品或项目进行公关、经营和管理，等等。但是我好像没什么可聊的，有位要好的朋友对我说，他们从事的行业都能彼此扯上关系，而我研究的数学则跟大家没有共同话题。的确，大多数朋友一提到数学就摇头，或是一听到我的职业就惊呼：“哇，你居然是数学老师！”然后大多数人都会紧接着来一句：“我上学时最怕数学了！”毫无疑问，很多人都不喜欢数学，都害怕数学，以至于毕业多年之后，想起数学课和数学老师都心有余悸。我有时候就暗想，如何让朋友也了解一下数学，改变他们对数学的印象呢？在聊天时偶尔我会给大家讲一些数学家的趣事或一些数学笑话，来博得大家的笑声，希望通过这些来刷下存在感，也顺便普及下数学。为了拓展自己在数学科普方面的知识，在学校里，除了讲授一些大学数学基础课程之外，我还选讲了一些数学通识课，像“文科数学”“数学文化”“数学大师”“数学与海洋”等，希望能通过这些课程，帮助当代大学生对数学有一个整体认识，提高他们对数学知识的理解，激发他们对数学学习的兴趣，丰富数学课堂实践。同时，这些课程也能增进我对数学以及数学教育的认知，开阔自己的眼界。本书正是我讲授这些数学通识课的成果。十多年来，为了讲好这些课，我阅读了大量数学史与数学文化方面的经典著作，遇到好的数学科普书籍也毫不犹豫买下，但在课堂上我仍会时感思维短路，对数学文化的博大精深常会发出由衷的赞叹。正如古希腊哲学家苏格拉底的名言：“我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。”但也正是这样的“教学相长”使我获益匪浅，“路虽远，行则将至；事虽难，做则必成。”传播数学，科普数学，我已在路上。往后余生，有你陪伴，不亦乐哉！本书主要是从历史的角度来讲述数学的故事。数学的历史，源远流长，它是人类早期文明的一部分。在五千余年的数学历史发展中，随着数学思想方法的不断丰富与发展，数学经历了从常量数学到变量数学，再到近现代的抽象数学。如今，数学以更为抽象的姿态出现在世人面前：它以公理化为主要研究方法，成为一门纯粹的演绎科学。但是数学又是一个开放的文化体系，它与人类的其他文化有着千丝万缕的联系。其中主要包括：重要的数学思想方法产生的社会政治和经济条件；数学与自然的辩证关系；数学的每一次发展如何改变人类的历史进程；数学的每一次变革如何影响我们的世界观、生活方式和思维方式；等等。21世纪以来，随着大数据和人工智能的发展，社会各个领域对数学的需求越来越大，数学在整个科学与技术领域的基础学科地位也越来越重要。通过数学历史知识的普及，有助于人们从文化的视角重新认识数学的本质，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值与美学价值，从而使现代社会的公民能够更好地顺应社会数学化的进程。习近平总书记指出：“要努力构建德智体美劳全面培养的教育体系，形成更高水平的人才培养体系。”这就要求我们在数学教育中要贯彻全面发展的教育理念。因此，本书旨在使读者“感受数学魅力，领悟数学精神”，达到普及数学知识、传播数学文化的目的，实现科学与人文全面发展的教育目标。在已出版的数学通识类书籍中，侧重点各有不同。有的侧重数学历史，有的侧重数学思想方法，有的侧重数学问题，有的侧重数学与文学、诗歌、音乐、艺术的结合等。由于数学内涵丰富，外延广大，数学通识课很难有一个统一体系。本书在选材时，主要突出了以下几个方面。（1）思政性：响应时代“大思政”号召，突出中国数学家的数学成就，突出中外数学家在问题探索中的思政元素。（2）航海特色：紧跟国家“海洋战略”，本书第14章“数学与航海”，充分展示了大航海时代的数学文化。（3）应用性：倡导“理论与实践”相结合的理念，展示数学在物理、金融、生物、医疗、密码等方面的最新应用。（4）科普性：采用案例驱动的方式引入和阐述相关内容，每一章都会通过数学问题、数学故事、数学典故、数学趣题、数学电影等引人入胜的案例展开，力求通俗易懂，方便读者理解每一章内容。本书共16章，大体上按照历史顺序来展开。第1章是对数学及其文化的总体概述；第2章介绍记数方法的产生，并讨论数学的起源；第3章和第4章是古希腊数学和中国古代数学，它们分别代表了数学史上演绎化和算法化这两种数学发展方向；第5章至第11章阐述数学发展的各个分支，如数论、代数、几何、微积分、概率与统计、非欧几何、无穷的理论等；第12章讨论20世纪初各大数学学派对数学基础的论争；第13章至第15章充分展示数学与计算机、数学与航海，以及数学在现代各领域中的应用；第16章介绍21世纪以来的最新数学进展及当代知名数学家。本书在写作过程中引用了许多数学家、数学史家、数学文化专家、国内外同行的研究成果以及一些网上资源，在此一并谢过！限于水平，错漏之处在所难免，敬请同行批评指正，以期不断完善（如有建议或意见，请联系：2010math@sina.cn）。李祥兆
李祥兆博士，毕业于华东师范大学教育学专业，现为上海海事大学教师，主讲高等数学、微积分、数学文化、数学史等课程，对数学文化和数学史有较深入的研究，目前已出版相关著作三部。
目 录序前言第1章 导论 / 11.1 数学改变世界 / 11.2 什么是数学 / 51.2.1 数学文化观 / 61.2.2 数学的定义 / 91.3 数学对象的历史演进 / 151.3.1 几何学的诞生 / 161.3.2 代数学的兴起 / 171.3.3 解析几何与微积分的出现 / 191.3.4 20世纪以来的数学 / 211.4 数学交流 / 231.5 数学文化的普及 / 27第2章 数学的诞生 / 332.1 数感与记数法 / 332.2 早期文明的记数系统 / 362.2.1 中国古代的算筹记数法和干支记数法 / 362.2.2 古巴比伦的楔形数字 / 432.2.3 古埃及的象形数字 / 442.2.4 其他文明的记数方法 / 472.3 神秘的数字 / 492.3.1 中华文化的源头—河图与洛书 / 502.3.2 来自西方的神秘数字 / 55第3章 古希腊数学 / 583.1 毕达哥拉斯与勾股定理 / 603.1.1 毕达哥拉斯的“万物皆数” / 603.1.2 勾股定理 / 633.1.3 无理数与黄金分割 / 643.2 柏拉图与亚里士多德的方法论 / 663.2.1 柏拉图学园 / 673.2.2 亚里士多德的吕园 / 683.3 欧几里得的《几何原本》 / 693.3.1 《几何原本》的公理化体系 / 713.3.2 《几何原本》中的勾股定理 / 733.3.3 《几何原本》的文化意义 / 743.4 古希腊三大作图问题与圆锥曲线 / 773.4.1 古希腊三大作图问题 / 773.4.2 圆锥曲线 / 803.5 “数学之神”阿基米德 / 82第4章 中国古代数学 / 884.1 刘徽与《九章算术》 / 894.1.1 《九章算术》 / 894.1.2 以率推术 / 924.1.3 出入相补原理 / 954.1.4 徽率 / 974.2 祖冲之与球体积公式 / 984.3 宋元数学四大家 / 1014.3.1 秦九韶与“中国剩余定理” / 1024.3.2 杨辉与纵横图 / 1064.3.3 李冶与天元术 / 1084.3.4 朱世杰与四元术 / 1114.4 中国古代数学的特征 / 1144.4.1 算法化 / 1144.4.2 实用性 / 1154.4.3 寓理于算 / 117第5章 素数之美 / 1205.1 素数 / 1215.1.1 素数有无限多个 / 1225.1.2 寻找梅森素数 / 1235.1.3 素数的分布 / 1265.2 数学猜想 / 1315.2.1 哥德巴赫猜想 / 1315.2.2 费马猜想 / 1335.2.3 黎曼猜想 / 1385.3 素数的应用 / 1435.3.1 哈代–温伯格定律 / 1435.3.2 华罗庚破译日军密码 / 1445.3.3 大自然中的素数—十七年蝉 / 148第6章 方程求解与代数学的发展 / 1506.1 从简写代数到符号代数 / 1516.1.1 丢番图的“简写代数” / 1516.1.2 花拉子米与海亚姆的代数学 / 1536.1.3 婆什迦罗的代数学 / 1576.1.4 斐波那契的《计算之书》 / 1586.1.5 卡尔达诺的一元三次方程求根公式 / 1606.1.6 韦达的符号代数 / 1646.2 一元五次方程 / 1666.2.1 一元五次方程无根式解 / 1666.2.2 方程有根式解的条件 / 1696.2.3 伽罗瓦的群论 / 1706.3 虚数不虚 / 1716.3.1 数系的自然扩充 / 1726.3.2 复数与超复数 / 1746.3.3 虚数在自然界的应用 / 182第7章 数形结合 / 1847.1 笛卡儿与方法论 / 1857.1.1 解析几何之父—笛卡儿 / 1857.1.2 方法论 / 1887.2 曲线与方程 / 1897.2.1 曲线与方程的结合 / 1907.2.2 曲线与方程的分类 / 1907.2.3 费马的斜坐标系 / 1917.2.4 两者工作的比较 / 1927.3 解析几何的意义 / 1937.3.1 对于科学的发展 / 1937.3.2 对于代数学的发展 / 1947.3.3 对于几何学的发展 / 195第8章 微积分的力量 / 1988.1 早期积分方法的发展 / 1998.1.1 刘徽的积分方法—“割圆术” / 2008.1.2 阿基米德的积分方法—“平衡法” / 2008.1.3 开普勒的积分方法—“量分割法” / 2028.1.4 卡瓦列利的不可分量原理 / 2028.2 近代微分方法的发展 / 2048.2.1 费马的切线法 / 2048.2.2 笛卡儿的圆法 / 2058.2.3 巴罗的特征三角形 / 2058.3 微积分理论的创立 / 2068.3.1 牛顿的微积分 / 2078.3.2 莱布尼茨的微积分 / 2138.3.3 优先权之争 / 2168.4 微积分理论的严格化 / 2218.4.1 柯西的极限方法 / 2228.4.2 魏尔斯特拉斯的分析算术化 / 2238.4.3 实数理论 / 226第9章 概率与统计 / 2319.1 概率论 / 2329.1.1 赌博问题与帕斯卡三角形 / 2339.1.2 伯努利大数定律 / 2369.1.3 拉普拉斯的分析概率论 / 2379.1.4 柯尔莫哥洛夫的概率的公理化体系 / 2389.1.5 概率论的应用 / 2409.2 数理统计 / 2469.2.1 格朗特的死亡统计表 / 2479.2.2 凯特勒的正态分布曲线 / 2489.2.3 高尔顿的相关与回归理论 / 2509.2.4 数理统计学的应用 / 253第10章 非欧几何 / 25910.1 罗巴切夫斯基几何学的创立 / 26010.1.1 对“第五公设”的疑惑 / 26010.1.2 非欧几何思想的萌芽 / 26210.1.3 罗巴切夫斯基几何学的诞生 / 26310.2 欧几里得几何与非欧几何的比较 / 26910.2.1 黎曼几何 / 26910.2.2 三种几何学的比较 / 27110.2.3 非欧几何的文化意义 / 272第11章 无穷的世界 / 27811.1 伽利略的困惑 / 28011.2 康托尔与集合论 / 28211.2.1 集合论的创始人—康托尔 / 28211.2.2 有理数集是可数的 / 28311.2.3 实数集是不可数的 / 28411.2.4 无穷集的基数 / 28611.3 连续统假设 / 287第12章 数学基础危机 / 29012.1 公理集合的性质 / 29112.2 希尔伯特的《几何基础》 / 29212.2.1 《几何原本》的缺陷 / 29212.2.2 《几何基础》 / 29312.3 罗素悖论与三大数学学派 / 29712.3.1 罗素悖论 / 29812.3.2 三大数学学派 / 300第13章 数学与计算机 / 30413.1 现代计算机的先驱 / 30513.1.1 算盘与对数尺 / 30513.1.2 早期的计算器 / 30713.1.3 算法与图灵机 / 30913.1.4 科学技术与数学的完美结合 / 31413.2 机器证明 / 31813.2.1 吴文俊与数学机械化 / 31813.2.2 四色猜想的机器证明 / 32213.3 分形的计算机迭代 / 32613.3.1 分形几何 / 32613.3.2 分形的迭代原理及其应用 / 33013.4 开普勒猜想的计算机证明 / 33313.4.1 开普勒猜想的提出 / 33313.4.2 海尔斯的计算机证明 / 336第14章 数学与航海 / 33914.1 早期人类对航海的探索 / 34114.1.1 大地是球形的 / 34114.1.2 测量地球的周长 / 34214.2 轰轰烈烈的大航海时代 / 34314.2.1 如何把握航向 / 34314.2.2 如何确定纬度 / 34614.2.3 如何确定经度 / 34914.2.4 地图绘制的数学原理 / 35114.2.5 船舶技术中的数学 / 35614.3 现代航海之路 / 35914.3.1 卫星导航系统 / 36014.3.2 船舶雷达系统 / 36014.3.3 航海技术的智能化 / 361第15章 现代数学应用 / 36315.1 数学应用概述 / 36415.2 数学模型方法 / 36615.3 现代数学应用案例 / 37115.3.1 案例1—CT扫描中的数学 / 37115.3.2 案例2—DNA结构中的数学 / 37515.3.3 案例3—激光照排技术中的数学 / 38015.3.4 案例4—密码中的数学 / 38215.3.5 案例5—金融中的数学 / 387第16章 21世纪的数学 / 39216.1 数学的统一性 / 39416.1.1 希尔伯特的数学统一观 / 39516.1.2 阿蒂亚的数学统一观 / 39616.1.3 丘成桐的时空统一观 / 39716.2 庞加莱猜想 / 40016.2.1 千禧年七大数学难题 / 40116.2.2 庞加莱猜想的提出与解决 / 40316.3 张益唐与孪生素数猜想 / 40716.3.1 孪生素数猜想 / 40716.3.2 大器晚成的华裔数学家—张益唐 / 40916.4 当代亚裔数学天才 / 41116.4.1 华裔数学天才陶哲轩 / 41116.4.2 越南第一位菲尔兹奖得主—吴宝珠 / 41316.4.3 韩国第一位菲尔兹奖得主—许埈珥 / 41516.4.4 印度的数学天才—拉马努金与巴尔加瓦 / 419参考文献 / 423
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