本书聚焦深度学习与非线性动力系统交叉领域，系统阐述深度学习在非线性动力系统求解中的理论方法与实践应用。书中首先梳理随机动力模型、分数阶微积分及深度学习核心算法基础，重点提出改进水库计算（IRC）、混沌控制（RCACF）、分数阶求解（FODS-NAR）三种创新算法，解决Lévy噪声激励系统求解、混沌特性控制及分数阶模型高效计算等关键问题。具体通过随机Lorenz、Lotka-Volterra、Chen金融混沌等典型系统，验证算法在不同噪声强度下的精度与效率优势，并结合多尺度法、随机平均法分析分数阶时滞经济周期模型的动力特性；还创新性将截尾Lévy飞行模型、随机矩阵理论与时空信息转换机结合，应用于金融极端事件预测，通过机器学习实现噪声识别与参数估计。本书理论扎实、案例丰富，可作为高校数学、物理、金融工程等相关专业研究生的教材，也可为从事非线性动力系统分析、金融风险管理的科研人员与工程技术人员提供参考。
林子飞，理学博士，西安财经大学数学学院副教授，硕士生导师，入选陕西省青年科技新星、陕西省青年杰出人才支持计划等人才项目。主要从事机器学习、深度学习、随机动力学及相关领域的研究工作。主持国家自然科学基金2项、省部级科研项目2项，以第一作者或通讯作者在本领域重要学术期刊Chaos、ND、CSF等权威期刊发表SCI学术论文10余篇。
目 录
第1章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究意义 4
1.3 研究现状 7
1.3.1 深度学习在非线性相关领域的研究现状 7
1.3.2 非线性动力系统的经济周期模型研究 11
1.3.3 随机非线性经济动力系统研究 13
1.3.4 分数阶方程求解相关的研究现状 14
1.3.5 噪声激励的非线性分数阶动力系统研究现状 15
1.3.6 混沌控制研究 16
1.4 时滞动力系统 17
1.5 主要研究工作 18
1.5.1 主要内容 18
1.5.2 本书的结构 20
第2章 理论基础 23
2.1 随机动力模型基础 23
2.1.1 Lévy噪声特性 23
2.1.2 随机微分方程 24
2.1.3 多尺度方法 27
2.1.4 标准随机平均法 28
2.1.5 随机矩阵理论 29
2.2 数值计算方法 30
2.3 分数阶微积分基础 30
2.3.1 分数阶微分方程的定义 30
2.3.2 预估-校正法 31
2.4 深度学习算法基础 33
2.4.1 水库计算算法 33
2.4.2 非线性自回归神经网络算法 35
2.4.3 回声神经网络算法 36
2.4.4 卷积神经网络算法 37
2.4.5 门控循环单元算法 38
2.4.6 注意力机制算法 39
2.4.7 深度混合网络算法 40
2.4.8 时空信息转换机算法 41
2.4.9 改进的深度学习算法 43
2.5 系统混沌特性判定方法 47
2.5.1 李亚普诺夫指数 47
2.5.2 0-1测试法 49
2.6 模型评价方法 50
第3章 利用深度学习求解非线性动力系统 52
3.1 随机Lorenz方程的求解 52
3.1.1 基于传统数值计算方法的随机Lorenz方程的求解 52
3.1.2 基于IRC算法的随机Lorenz方程的求解 53
3.1.3 结果对比 57
3.2 随机Lotka-Volterra模型的求解 59
3.2.1 基于传统数值计算方法的随机Lotka-Volterra模型的求解 59
3.2.2 基于IRC算法的随机Lotka-Volterra模型的求解 59
3.2.3 结果对比 62
3.3 随机Chen金融混沌模型的求解 63
3.3.1 基于传统数值计算方法的随机Chen金融混沌模型的求解 63
3.3.2 基于IRC算法的随机Chen金融混沌模型的求解 64
3.3.3 结果对比 67
3.4 算法调参与优化 68
3.4.1 正则化参数调整 68
3.4.2 谱半径调整 69
3.4.3 神经元数量调整 69
3.5 本章小结 70
第4章 利用深度学习求解非线性分数阶动力模型 71
4.1 随机激励下分数阶时滞经济周期模型的动力响应研究 71
4.1.1 引言 71
4.1.2 系统描述 72
4.1.3 随机平均法 72
4.1.4 具有非线性投资函数的经济周期模型 75
4.2 分数阶时滞经济周期模型的主共振响应研究 80
4.2.1 引言 80
4.2.2 模型和多尺度分析 81
4.2.3 具有非线性投资函数的经济周期模型分析 84
4.2.4 具有非线性消费函数的经济周期模型分析 86
4.3 求解分数阶动力模型与分数阶随机动力模型 89
4.3.1 分数阶Lorenz系统的求解 90
4.3.2 分数阶Chen金融系统 96
4.3.3 随机分数阶Lorenz系统的求解 98
4.3.4 随机分数阶Chen金融系统的求解 104
4.4 算法优化 111
4.5 本章小结 118
第5章 随机动力模型的混沌控制 120
5.1 混沌控制算法（RCACF算法）设计 120
5.2 随机Lorenz系统的混沌控制 120
5.2.1 混沌特性判定 121
5.2.2 混沌控制实现 121
5.3 随机Chen金融系统的混沌控制 123
5.3.1 混沌特性判定 123
5.3.2 混沌控制实现 123
5.4 算法调参与优化 126
5.4.1 神经元数量调整 126
5.4.2 泄漏率调整 128
5.5 本章小结 129
第6章 深度学习在金融极端事件预测中的应用 130
6.1 引言 130
6.2 截尾Lévy飞行模型与金融市场价格轨迹分析 130
6.2.1 截尾Lévy飞行模型 131
6.2.2 价格轨迹分析与分形特征 133
6.2.3 步长分布与功率谱密度分析 138
6.3 随机矩阵理论在金融市场复杂性分析中的应用 140
6.3.1 随机矩阵理论基础与金融市场的相关性 140
6.3.2 金融市场交叉相关矩阵的构建与特征值分布分析 143
6.3.3 特征值分布的幂律行为及尾部特征 145
6.4 时空信息转换机在金融极端事件预测中的应用 148
6.4.1 预测指标的构建 148
6.4.2 时空信息转换机在极端事件中的预测优势 149
6.4.3 实证检验与结果分析 150
6.5 机器学习在噪声识别中的应用案例 153
6.5.1 模型理论与数据特征 154
6.5.2 分类器实证结果 161
6.5.3 噪声参数估计与模型有效性验证 166
6.6 本章小结 175
第7章 结论与展望 179
7.1 结论 179
7.2 展望 183
参考文献 185
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