玩转高等数学（上册）_马乐编著_9787301368619

本书以“让大学没有难学的高等数学”为核心理念，系统梳理高等数学的核心知识体系，内容涵盖极限与连续、微分学、导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程七大模块．全书结合几何、物理、经济等领域的典型应用场景，致力于构建从理论到实践的完整知识闭环。本书创新性地采用“通俗化阐释+可视化呈现”相结合的方法：通过图像拟合法解析泰勒公式的核心原理，以图形直观展示极限的趋向过程，旨在显著降低抽象知识的理解难度．同时，本书精选高校期末考试试题、专升本数学真题及考研数学真题构建例题库，有效强化读者的应试能力。作为一本融合学术严谨性与新媒体传播力于一体的创新型教辅，本书特别适合经管类、理工科大学生用于巩固课程知识，也可作为研究生入学考试的复习资料。同时，本书也能为数学爱好者提供一条高效掌握高等数学精髓的学习路径，帮助读者实现高效学习与深度理解的双重突破。

目录第1章极限与连续 1.1 极限计算方法大总结1 1.1.1 直接代入法与常用结论2 1.1.2 因式分解法3 1.1.3 分子（分母）有理化法4 1.1.4 “抓大头”法6 1.1.5 等价无穷小代换法8 1.1.6 对数恒等式法（取对数求极限）10 1.1.7 极限的四则运算法则11 1.1.8 数列的极限13 1.1.9 夹逼准则15 1.1.10 利用极限值与无穷小的关系求极限18 1.1.11 利用中值定理求极限20 1.1.12 单调有界准则求极限20 1.1.13 洛必达法则求极限20 1.1.14 泰勒公式展开法求极限20 1.1.15 利用定积分定义求极限20 1.2 函数的连续性20 1.3 函数的间断点22 1.4 无穷小量阶的比较26 1.5 最值定理与有界性定理、介值定理与零点定理28 第2章微分学 2.1 导数的定义与几何意义31 2.1.1 函数在一点处的导数31 2.1.2 导数的几何意义32 2.2 导数的可导性（左导数与右导数）33 2.3 导数的基本公式及其运算法则35 2.4 反函数的导数37 2.5 复合函数的导数39 2.6 高阶导数41 2.7 隐函数的导数43 2.8 对数求导法45 2.9 参数方程的导数46 2.10 微分的概念及其计算48 2.11 利用微分求近似值51 第3章导数的应用 3.1 费马引理 53 3.2 罗尔中值定理54 3.2.1 定理内容54 3.2.2 函数构造方法总结55 3.3 拉格朗日中值定理 57 3.4 柯西中值定理59 3.5 洛必达法则61 3.6 泰勒公式64 3.6.1 泰勒公式的通俗理解64 3.6.2 利用泰勒公式求极限67 3.7 函数的单调区间与极值68 3.7.1 函数的单调区间68 3.7.2 函数的极值70 3.8 函数的最大值与最小值73 3.9 函数的凹凸区间与拐点74 3.10 曲线的渐近线76 3.11 函数图像的描绘78 3.12 曲率及其计算80 3.13 导数在经济学中的应用82 3.13.1 五大经济函数82 3.13.2 边际分析85 3.13.3 弹性分析86 第4章不定积分 4.1 原函数与不定积分的概念88 4.2 不定积分的性质与基本公式90 4.3 不定积分计算之凑微分法94 4.4 不定积分计算之第二类换元积分法99 4.5 不定积分计算之分部积分法101 4.6 必备知识之多项式的除法104 4.7 有理分式的不定积分计算106 4.7.1 分母不可分解因式106 4.7.2 分母可分解因式109 4.8 三角有理函数的不定积分计算111 4.9 无理函数的不定积分计算114 4.10 “积不出”的不定积分116 第5章定积分 5.1 定积分的定义与几何意义118 5.2 定积分的基本性质及其运用121 5.3 利用定积分定义求极限的构造策略123 5.4 积分上限函数及其导数126 5.5 牛顿-莱布尼茨公式129 5.6 定积分计算之分段函数与去绝对值131 5.7 定积分计算之换元积分法133 5.8 定积分计算之分部积分法136 5.9 定积分计算之对称性139 5.10 定积分计算之周期函数141 5.11 定积分计算之含有定积分的方程143 5.12 定积分计算之区间再现公式145 5.13 定积分计算之华里士公式（点火公式）149 5.14 反常积分（广义积分）的解题方法总结152 5.14.1 无穷区间上的反常积分152 5.14.2 无界函数的反常积分156 5.14.3 反常积分的敛散性判定159 第6章定积分的应用 6.1 利用定积分计算平面图形面积（直角坐标系）164 6.2 利用定积分计算平面图形面积（参数方程）167 6.3 必备知识之极坐标系169 6.4 利用定积分计算平面图形面积（极坐标系）171 6.5 利用定积分计算旋转体体积（曲边梯形）173 6.6 利用定积分计算旋转体体积（曲边带形）175 6.7 平面曲线的弧长177 6.8 定积分在物理学中的应用179 6.9 定积分在经济学中的应用181 第7章微分方程 7.1 微分方程的基本概念183 7.2 可分离变量的微分方程186 7.3 齐次型微分方程188 7.4 一阶线性微分方程190 7.5 伯努利方程192 7.6 可降阶的高阶微分方程194 7.7 二阶线性微分方程解的结构197 7.8 二阶常系数齐次线性微分方程199 7.9 二阶常系数非齐次线性微分方程201 7.9.1 特定形式一：（代表关于的次多项式）201 7.9.2 特定形式二：（，分别代表关于的次和次多项式）203 7.10 n阶常系数齐次线性微分方程204 7.11 微分方程的应用205 7.11.1 微分方程在几何学、经济学中的应用205 7.11.2 微分方程在物理学中的应用207 7.12 差分方程209 7.12.1 差分与差分方程的基本概念209 7.12.2 一阶常系数线性差分方程211 7.12.3 二阶常系数线性差分方程214 解析册第1章极限与连续 1.1 极限计算方法大总结215 1.1.1 直接代入法与常用结论215 1.1.2 因式分解法216 1.1.3 分子（分母）有理化法217 1.1.4 “抓大头”法218 1.1.5 等价无穷小代换法219 1.1.6 对数恒等式法（取对数求极限）220 1.1.7 极限的四则运算法则221 1.1.8 数列的极限221 1.1.9 夹逼准则222 1.1.10 利用极限值与无穷小的关系求极限224 1.1.11 利用中值定理求极限225 1.1.12 单调有界准则求极限225 1.1.13 洛必达法则求极限225 1.1.14 泰勒公式展开法求极限225 1.1.15 利用定积分定义求极限226 1.2 函数的连续性226 1.3 函数的间断点227 1.4 无穷小量阶的比较229 1.5 最值定理与有界性定理、介值定理与零点定理230 第2章微分学 2.1 导数的定义与几何意义232 2.1.1 函数在一点处的导数232 2.1.2 导数的几何意义232 2.2 导数的可导性（左导数与右导数）233 2.3 导数的基本公式及其运算法则234 2.4 反函数的导数235 2.5 复合函数的导数236 2.6 高阶导数237 2.7 隐函数的导数238 2.8 对数求导法239 2.9 参数方程的导数240 2.10 微分的概念及其计算241 2.11 利用微分求近似值242 第3章导数的应用 3.1 费马引理 244 3.2 罗尔中值定理244 3.2.1 定理内容244 3.2.2 函数构造方法总结245 3.3 拉格朗日中值定理 246 3.4 柯西中值定理248 3.5 洛必达法则249 3.6 泰勒公式250 3.6.1 泰勒公式的通俗理解250 3.6.2 利用泰勒公式求极限251 3.7 函数的单调区间与极值251 3.7.1 函数的单调区间251 3.7.2 函数的极值252 3.8 函数的最大值与最小值253 3.9 函数的凹凸区间与拐点254 3.10 曲线的渐近线255 3.11 函数图像的描绘256 3.12 曲率及其计算259 3.13 导数在经济学中的应用260 3.13.1 五大经济函数260 3.13.2 边际分析261 3.13.3 弹性分析261 第4章不定积分 4.1 原函数与不定积分的概念263 4.2 不定积分的性质与基本公式263 4.3 不定积分计算之凑微分法265 4.4 不定积分计算之第二类换元积分法268 4.5 不定积分计算之分部积分法269 4.6 必备知识之多项式的除法270 4.7 有理分式的不定积分计算271 4.7.1 分母不可分解因式271 4.7.2 分母可分解因式272 4.8 三角有理函数的不定积分计算274 4.9 无理函数的不定积分计算275 4.10 “积不出”的不定积分277 第5章定积分 5.1 定积分的定义与几何意义278 5.2 定积分的基本性质及其运用278 5.3 利用定积分定义求极限的构造策略279 5.4 积分上限函数及其导数281 5.5 牛顿-莱布尼茨公式282 5.6 定积分计算之分段函数与去绝对值282 5.7 定积分计算之换元积分法283 5.8 定积分计算之分部积分法285 5.9 定积分计算之对称性286 5.10 定积分计算之周期函数287 5.11 定积分计算之含有定积分的方程288 5.12 定积分计算之区间再现公式289 5.13 定积分计算之华里士公式（点火公式）291 5.14 反常积分（广义积分）的解题方法总结291 5.14.1 无穷区间上的反常积分291 5.14.2 无界函数的反常积分292 5.14.3 反常积分的敛散性判定293 第6章定积分的应用 6.1 利用定积分计算平面图形面积（直角坐标系）297 6.2 利用定积分计算平面图形面积（参数方程）298 6.3 必备知识之极坐标系299 6.4 利用定积分计算平面图形面积（极坐标系）300 6.5 利用定积分计算旋转体体积（曲边梯形）302 6.6 利用定积分计算旋转体体积（曲边带形）303 6.7 平面曲线的弧长304 6.8 定积分在物理学中的应用305 6.9 定积分在经济学中的应用307 第7章微分方程 7.1 微分方程的基本概念309 7.2 可分离变量的微分方程310 7.3 齐次型微分方程311 7.4 一阶线性微分方程312 7.5 伯努利方程313 7.6 可降阶的高阶微分方程314 7.7 二阶线性微分方程解的结构315 7.8 二阶常系数齐次线性微分方程316 7.9 二阶常系数非齐次线性微分方程317 7.9.1 特定形式一：（代表关于的次多项式）317 7.9.2 特定形式二：（，分别代表关于的次和次多项式）318 7.10 阶常系数齐次线性微分方程319 7.11 微分方程的应用319 7.11.1 微分方程在几何学、经济学中的应用319 7.11.2 微分方程在物理学中的应用320 7.12 差分方程323 7.12.1 差分与差分方程的基本概念323 7.12.2 一阶常系数线性差分方程323 7.12.3 二阶常系数线性差分方程325

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